Sandviç Teoremi

Üniversitede derslere başladığımda derslerin mantığını çözmekte zorlanıyordum. Ta ki sandviç teoremini görene kadar. Lisedeyken matematikte gayet iyiydim fakat her nedense üniversitede hocalardan mı nedir matematik farklı gelmeye başlamıştı. Fakat sandviç teoremini gördükten sonra matematiğe yeniden bir ısındım. Bugün meşhur Thomas Calculus’te dolanırken bu teoremi gördüm. Ve hakkında yazmaya karar verdim. Başlıyorum.

Bildiğimiz üzere bazı fonksiyonlarda değerler fonksiyonu belirsiz hale getirir. (∞/∞ gibi) Bu durumlardan kurtulmak için matematikçiler çalışmalar yapmış ve bazı yöntemler bulmuşlardır. Sandviç teoremi de bunun üzerine çalışmaktadır. Şöyle tanımlayalım;

Yukarıdaki grafikte gördüğümüz gibi 3 tane fonksiyon belirleyelim. h ve g fonksiyonları öyle iki fonksiyon olsun ki h fonksiyonu her zaman g fonksiyonundan büyük veya ona eşit olsun. Heh işte şimdi f fonksiyonunu tanımlayalım. f fonksiyonumuzda bu fonksiyonların yukarıdaki tanımı sağlayan aralığında  fonksiyonların arasında yer alsın. Yani;

g(x)≤f(x)≤h(x) olur.

İşte burada şunu düşünelim. f fonksiyonunun bir değerini bulamıyorsunuz. Fakat elinizde sandviç teoremini sağlayacak g ve h fonksiyonları var. Bu durumda g ve h fonksiyonları eşit olursa ne olur? Evet, g ve h fonksiyonlarının arasında sıkışan f fonksiyonu da diğer fonksiyonlara eşit olmak zorunda kalır. Zaten bu teoreme bu yüzden sıkıştırma teoremi filan da diyorlar. Sandviç teoremi de buradan geliyor. İki ekmeğin arasına malzemeleri yani asıl bulmak istediğini sıkıştırıyorsun. Çok önemli bir teorem bunun sayesinde belirsizliklerin bazılarını açıklığa kavuşturabiliyoruz. Buyrun bir örneği;

Şimdi bu θ sıfıra giderken sinθ sıfıra gidecek mi? Evet. Eee zaten θ’da sıfıra yaklaşıyor. O zaman bu denklemde 0/0 belirsizliği oluşuyor. İşte bunu sandviç teoremi şöyle çözüyor;

Burada KOH üçgeninin alanının KOA çember parçasının alanından küçük veya eşit olduğunu KOA çember parçasının LOA üçgenin alanından küçük veya eşit olduğunu görebiliriz. Yani:

İstenilen denklemi elde edebilmek için yukarıdaki eşitsizliği 2’yle çarpıp sinθ’ya bölelim ve eşitsizliği ters çevirelim:

Şimdi sandviç teoremindeki g ve h fonksiyonlarını hatırlayalım. g fonksiyonu burada cosθ ile; h fonksiyonu 1/cosθ ile temsil edilmektedir. θ için her iki fonksiyona da sıfır değerini verdiğimizde şöyle bir denklem gelmektedir:

O halde belirsizliğimizin alabileceği tek değer 1’dir. İşte sandviç teoremi bu şekildeki belirsizliklerin bulunmasına yardımcı olmaktadır. Üniversite 1.sınıf Matematik 1 derslerinde karşımıza çıkan bu teorem genelde hocalar tarafından sevilir ve 1. vizede soru olarak karşınıza gelir.

Benzer yazılar

Sun Zi – Savaş Sanatı

Bir asker… Wu Beyliği Hükümdarı He Lu, Qi Beyliği’nden şöhretini duyduğu bir askeri çağırtır. He Lu der ki: “Benim için küçük bir deneme talimi yaptırır mısın?” Asker, “Elbette” der. He Lu: “Bu denemeyi kadınlarla yapabilir misin?” Asker: “Elbette.” Bunun üzerine sarayın en güzel kadınlarından yüz sekseni getirilir. Asker onları ikiye ayırır ve hükümdarın en gözde […]

Ev Otomasyonu Ve Kişisel Asistanlar

Teknoloji ve internet son birkaç yıldır çok hızlı değişti. Bunlardan birçoğumuz da faydalanmaktayız. Bu değişim bizim hayatımızı çeşitli yönlerden etkilemektedir. Ev otomasyon sistemi, ev sakinlerine, zihni ve bedeni yormadan birtakım işleri yapabilmek ve enerji tasarrufu sağlamak gibi büyük faydalar getirmektedir.   Gözetleme ve Takip Etme Ev otomasyonu sayesinde ev sahipleri, evde değilken bile birçok iş […]

3 yorum

  1. Merhaba, dediğiniz gibi teorem çok kullanışlı, açıklama için de teşekkürler. Benim aklıma takılan bir nokta var; burada eşitliği yazarken küçük eşittir ve büyük eşittir ile yazmışsınız örnekte ama benim fikrimce orada eşittirler olmamalı(bu örnek için) çünkü alanlar arasında gözle görülebilen bir farklılık var. Nedenini açıklayabilirseniz sevinirim, iyi günler.

  2. Dediğiniz büyük açılar için doğru. Mesela 45 derece olsa burada büyük bir alan boşluğu gözüküyor fakat derece küçüldükçe o alan da küçülüyor. Sıfır olduğunda alan eşitleniyor. Zaten limitin mantığı bunu anlatıyor. Daha rahat anladığım bir simülasyonun linkini aşağıya koyuyorum. Burada birim çemberde çizgilerin birbirine nasıl yaklaştığını görebilirsiniz.

    https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-interactive-unit-circle.html

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir