Kutupsal Koordinatlar Üzerine

Hani Harry Potter’da bir sahne vardı. Profesör Lupin sınıfa bir tane “boggart” getirir. Boggart’ın neye benzediği belli değildir çünkü o karşıdaki insanın korktuğu şeyin şeklini alır. Ron gelir, örümcek olur. Neville gelir, Profesör Snape olur. Çokta ünlü olmayan ve bilinmeyen kızın biri gelir, yılan olur. Sonra Harry gelir, hemen millet bi tedirgin. Acaba Voldemort’u mu göreceğiz diye filan. Neyse..

Konuyla ne alaka diyecek olursanız şöyle söyleyeyim; ne zaman bi kutupsal(bundan sonra polar diyeceğim) koordinat sorusu görsem ürperirim. Yani bi boggart gelse belki de benim karşımda polar koordinat denklemi olur. Tabi olabilirse. Polar koordinat denklemi olmakta bi marifet, bi iş.

Niye böyle korkuyorum?

Çoğu kişinin de bu denklemleri anlayamadığına inanıyorum çünkü biz lisedeyken denklemlerimizi kartezyen koordinat sistemine göre çok sağlam bir şekilde oturtuyoruz. Dört yıllık eğitimimizde hep bunu kullandık. Üniversitenin ilk yılında bir haftadan bile kısa zamanda öğretilen polar koordinatlarla denklem yazmaktan elbette korkacağız. Şunu unutmamalı ki; temel bilimler her şeydir. Binanın demirleridir. Bunlar uzun zamanda yavaş öğretilerek yorumlanabilecek kıvama gelir ve bu temel bilimlerden öğrenciler yetenekleri kadarıyla başka işler çıkartabilirler. Temel bilimlerin yorumlamasına önem verilmeli.

Kullanım amacı

Polar koordinatların iki faydasını biliyorum. Birincisi çoklu integrallerde(multiple integral) karmaşık işlemlerin önüne geçiyor ve basit çözümler sağlıyor. İkincisinde ise kavisli hareketlerde(uyduların ve gezegenlerin hareketleri gibi) kullanışlı oluyor. Çünkü bunlar bir merkezin etrafında dönüyorlar, polar koordinatlarda aynı mantıkla kendine bir merkez belirleyerek hareket ediyor.

Mantık

Kartezyen koordinat sisteminde her noktanın x ve y koordinatları vardır. Polar sistemde de bir nokta uzunluk ve açısıyla tanımlanır. Bu açı genelde kartezyen koordinat sisteminindeki x ekseni ile yaptığı pozitif açıdır. Her noktanın merkezle arasında olan uzaklık ve düzlemle oluşturduğu açı diğer noktalara göre eşsizdir. Yani biri gelip “ben aynı uzunlukta ve aynı açıda bulunan farklı bir nokta gösterebilirim.” derse “Yav gardeşim, bi yürü git. Belanı mı istiyon?” diyebilirsiniz.

Polar koordinat sisteminin temeli

Kartezyen ve Polar Koordinat Sistemi Dönüşümleri

Aşağıdaki şekile bakarak denklemleri anlayabilirsiniz ve denklemleri değiştirerek polardan kartezyene ve kartezyenden polara dönüşüm yapabilirsiniz.

Bu çemberden aşağıdaki denklemler kolaylıkla çıkar. Birim çemberi bilmek yeterli olacaktır. 

Polar sistemlerdeki mantık x ve y yerine bunların yukarıdaki trigonometrik denklemleriyle yazılmasıdır. Eğer bir de koordinat sisteminizde z düzlemi varsa böylelikle daha az bilinmeyenin olduğu bir denklem yazabilirsiniz. Bundan sonraki yazımızda bununla ilgili birkaç soru çözmeyi planlıyorum. Denklemleri ne kadar basitleştirebileceğini göstermek için size bir örnekle veda ediyorum.

Input’ta gördüğünüz karışık denklemin grafiğini görüyorsunuz.
Aynı grafiği çizmek için polar koordinat sisteminde Input’taki gördüğünüz o basit ve sevimli denklem yeterli oluyor.

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir