Monty Hall Probleminin Püf Noktası

Eğer bu yazıyı okuyorsanız büyük ihtimal bu problemi bir yerde görmüşsünüz ve kafanıza yatmamış demektir. 3 sene önce aldığım olasılık dersinde ilk defa duyduğum bu problemi anlayamadan geçmiştim.

Bu arada konuyu bilmeyenler için problemin güzel bir şekilde anlatıldığı “Blackjack 21” film sahnesini aşağıda izleyebilirsiniz.

Videoyu izlediğinizde aklınıza gelen soru  “Nasıl yani, iki kapının kazanma olasılığı da aynı değil mi?” diye düşünüyorsanız buyrun yazıya devam edin. Bu problem filmlere ve dizilere konu olmuş, hakkında internette sayılamayacak kadar çok yazı ve video bulunan bir problem. Anlamak için problemin içindeki çok basit bir noktanın anlaşılmasının gerektiğini farkına vardım fakat bundan bahseden herhangi bir kaynağa rastlamadım veya benim anlayacağım kadar açık yazdıklarını düşünmüyorum.

Olayın Özü

Ben olayın özüne şöyle odaklandım. “Niye sunucu bir kapıyı bilerek açtığında sonuç 1/2 olmuyor?”  Cevabını şöyle açıklayayım: Üç tane kapı var. A,B ve C kapıları. Yarışmacı A kapısını seçti ve A kapısının arkasında bir keçi var diyelim. Peki yarışmacı kapıyı seçtikten sonra sunucu keçi olan bir kapıyı açacaktı soruya göre. Sunucu A kapısının ardında keçi olduğunu bildiği halde A kapısını açabilir mi? Problemin bütün gizemi burada yatıyor.

“Açamaz.”

Sunucu kapıyı açtıktan sonra yarışmacıya “Kapını değiştirmek ister misin?” diye sorması gerekiyor. Eğer A kapısını açsa yarışmacının seçtiği kapıyı açarak oyunun içinde olmayan bi ihtimali gerçekleştirecek. İşte bu ihtimali yapamaması bir şeyleri değiştiriyor. Fark burada! Sunucunun bilgisi ve yarışmacının seçimi sunucunun açabileceği kapı sayısını sınırlıyor. Yani eğer A kapısının arkasında keçi varsa kapıların arkasında iki keçi olduğu halde sunucu  yalnızca bir tanesini açabiliyor. Böylelikle yarışmacının seçmediği kapıların arkasındaki riski düşürüyor. Birkez daha tekrar ediyorum. Sunucu yalnızca yarışmacının seçmediği kapılar arkasındaki keçili kapıyı açabiliyor ve diğer kapıların arkasında araba olma şansını arttırıyor. Yarışmacının seçtiği kapı bu olay sırasında diğer kapılarla olan ilişkisini bir bakımdan kaybediyor. Umarım anlaşılmıştır. Şimdi bunu Bayes teoremiyle göstereceğim. Teknik ispatını merak edenler devam edebilirler.

Bayes Teoremi ile Monty Hall ispatı

Yazı çok uzun olacağı için Bayes teoreminin temellerini burada anlatmayacağım. Birçok kaynaktan ispatını görebilir ve mantığını anlayabilirsiniz. Kısaca ifadeleri açıklayayım:

P(CarA | B) olarak ifade edilen şey sunucu B kapısını açtıysa arabanın A kapısının arkasında olma olasılığıdır.

P(B | CarA); Araba A kapısının arkasındaysa sunucunun B kapısını açma olasılığı

P(CarA); Arabanın A kapısının arkasında olma olasılığı

Bayes formülü bu probleme göre şu şekilde uyarlanır:

Formülleri ben yazdım ama “Car” yerine “Araba” yazsam büyük sıkıntı olacaktı 🙂

Şimdi yarışmacı kapıyı seçtikten sonra sunucunun arkasında keçi olan bir kapıyı açtığını düşünelim. Mesela yarışmacı A kapısını seçti. Sunucu da B kapısının arkasında keçi olduğunu biliyordu ve B kapısını açtı ve kapını değiştirmek ister misin diye sordu. Kapıyı değiştirdiğinde kazanma olasılığı şu şekilde yazılır:

Sayılar yukarıdaki formülün sırasına göre yazıldı. Bu formülün ifade etmek istediği şey, yarışmacı A kapısını seçip sunucu B kapısını açtığında arabanın C kapısının ardında olma olasılığıdır ve  2/3’tür. Yani A kapısının arkasında araba olma olasılığının iki katıdır. Mavi kutunun olduğu kısma dikkat etmenizi istiyorum. Bu kısımda araba C kapısının arkasında ise sunucunun B kapısını açma olasılığı ile arabanın C kapısının arkasında olma olasılığını çarpıyor. Arabanın A, B veya C kapısında olma olasılığı aynı yani 1/3 fakat eğer araba C kapısının arkasında ise sunucunun B kapısını açma olasılığı neden 1? Halbuki araba C kapısının arkasındaysa A kapısının yani yarışmacının seçtiği kapının arkasında da keçi var. Onu da seçemez mi? Seçemiyor! İşte formülde de farkın nereden geldiğini burada görebiliyorsunuz. B kapısını seçmek zorunda kalıyor. Bu da C kapısının şansını arttırıyor.

Diyelim ki sunucu yarışmacının seçtiği kapıyı umursamadan keçi bulunan bir kapıyı açsa durum ne olurdu? Mesela yarışmacı A kapısını seçti. Sunucu da dedi ki “Gardaşım A kapısının arkasında keçi var.” veya “Keçi olan bir kapıyı açacağım, bu senin kapın da olabilir.” dedi. Sonra diyelim ki A kapısını açtı. Sonuç ne oldu? Yarışmacı kapısız kaldı ve bir daha seçim yapmak zorunda. Sunucu kendini seçilmeyen kapılarla kısıtlamadı. Veya B kapısını açtı ama yarışmacının kapısını açıp onu seçiminden edebilirdi. Bu durumda kapıyı değiştirmeli mi? Onu da şu formülle açıklayalım:

Kapısını değiştirmesi kendi tercihi ama A kapısının da B kapısının da kazanma şansı 1/2’dir. Kırmızı kareli alanda gördüğünüz gibi araba C kapısının arkasındaysa sunucunun seçebileceği iki kapı vardır çünkü A kapısının arkasında da keçi olduğunu bilmekte ve seçebilmektedir. Burada yarışmacının A ve C kapılarından araba kazanma olasılığı eşittir.

Umarım anlaşılır olmuştur. Görselde solda oturan elinde ödül tutan ünlü sunucu Monty Hall ve programının adı da “Let’s Make a Deal”. Problem onun adıyla ünlü olmuş ve onun ismi verilmiş.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir