Eigenvalue ve Eigenvector

Üniversite birinci sınıfta lineer cebir dersi almıştım. İlk başta lisede gördüğüm şeyler olduğu için dersi pek dinlemiyordum. Sonradan bir baktım ki ders bambaşka bir şeye dönüşmüş. Hoca vektörün uzayı gerip germediğini anlatıyor. Uzayı germek nedir ya? Eigenvalue buluyoruz ama nasıl havalı yazılıyor. Ürktüm bir miktar. Final zamanında da ne yaparsın bu kadar konuyu diye adımlarını ezberleyip yapmıştım soruları. Geçenlerde aklıma bu konu geldi ve benden sonra lineer cebir dersi alan arkadaşlar konunun mantığını anlasın ve zorlanmasın diyerek basit bir şekilde anlatmaya karar verdim.

Konunun “özü”

Eigen’in sözlük manası “öz” olarak geçiyor. Yani konumuz türkçe kaynaklarda özdeğer ve özvektör olarak geçiyor. Peki niye var? Bunu size kendi anladığım kadarıyla izah edeceğim fakat bundan daha fazlası da var. Şimdilik yaptığım açıklama üniversite dersi için yeterli olacaktır diye düşünüyorum.

Koordinat sistemlerinde bir noktayı bazı koordinatlarla belirtebiliriz. Mesela iki boyutlu bir koordinat sistemiyse (5,-3) dersek x koordinatı 5 olan ve y koordinatı -3 olan nokta hemen dördüncü bölgede gözümüzde canlanır.

Noktanın konumununda hiç tereddüt etmiyoruz. Ama şunu hiç soruyor muyuz? Bu x ve y koordinat sistemi nereden geliyor? Kime göre çiziliyor? Ne ifade ediyor?

Aslında uzayda bir nokta var. Koordinat diye bir şey yok fakat siz koordinat sistemi dediğiniz iki doğruyu dik kesiştirip bir yere koyuyorsunuz ve merkezine orjin diyorsunuz. Noktayı da bu koordinat sisteminin merkezine göre tanımlıyorsunuz. Yani artık o koordinat sistemi sizin “özünüz” oluyor. Buna benzer bir şekilde de özdeğer ve özvektörler lineer cebirde oluşturuluyor.

Nasıl bulunuyor?

Nasıl ki koordinat sistemleri bir sayıyla çarpınca yönlerini değiştirmiyorlar. Özvektörlerde yönlerini değiştirmemesiyle bulunuyor. Mesela (5,-3) noktasına giden bir vektör farzedelim. Bunu 3 ile çarpsak yönü değişir mi? Değişmez çünkü biz bunun koordinat sistemlerindeki temellerini 3 ile çarpıyoruz. Şöyle oluyor;

Yani siz burada aslında x ve y koordinatındaki birim vektörlerin ikisini de 3 ile çarpıyorsunuz. Eğer Birim matris bileşenlerinin birini 3 ile çarparken diğerini 5 ile çarparsanız yönü değişecektir. Anladığım kadarıyla lineer cebirde de diyor ki, bana öyle bir vektör bul ki, matrisle çarptığım zaman yön değiştirmesin. Büyüklüğü değişebilir fakat yönü değiştirmesin. Bunu da şöyle ifade ediyorlar;

Bu ifadeyi görünce hep kafam karışıyordu. Bir şeyi A ile çarpıyorsun ve bir de λ ile çarpıyorsun ve bunlar eşit oluyor. Diyorum ki o zaman A ile λ birbirine eşit olur. Hayır! İşte biz hala tek boyutta çarpma işleminde kaldığımız için böyle oluyor. Lineer cebirde tek boyutlu düşünmeyeceğiz. O yüzden ben genelde bu ifadeleri açıyorum. Açınca karşımıza şöyle bir görüntü çıkıyor; 2×2 matris ile örnek verdim kolay anlaşılsın diye.

Matris çarpımından hatırlarsınız. a ile x çarpılıyor, b ile y çarpılıyor ve toplanıyor. c ile x çarpılıyor,  d ile de y çarpılıyor toplanıyor. İşte bu işlemlerden çıkan sonuçlar yine yönü değişmeyecek şekilde(büyüklüğü değişebilir) çıkarsa bu vektör özvektör oluyor. Değişen büyüklük ise özdeğer oluyor. Bundan sonra bu matrisi istediğiniz kadar bu vektörle çarpabilirsiniz. Yönü hep aynı olacak ve hep özdeğere göre küçülecek veya büyüyecek. Bir örnek ile konuyu iyice oturtmak istiyorum.

Bu matriste çarpma işlemlerini yapınca karşımıza aşağıdaki denklemler çıkıyor.

Bu denklemleri çözersek λ değerini -2 veya 7 olabileceğini görüyoruz. Burada anlamamız gereken bir şey var. Niye iki tane λ değeri çıktı? Koordinat sisteminde noktayı belli eden iki parametre vardı(x ve y). Burada da 2×2 matrisi tanımlayan iki vektör olmalı. İki özvektör olabilmesi için iki adet özdeğer olmalı!

λ=7  ve λ=-2’ye göre denklemleri çözerek özvektörleri buluyorum. Bu λ değerleri özdeğer oluyor.

 

Bulduğum iki vektör bu matrisin özvektörleri oluyor. Şimdi ne anlama geldi bu derseniz. Bu matrisi bu özvektörlerle tanımlayabilirsiniz. Sütunları her zaman bu iki özvektörün katlarıyla bulunabilir. Öğrendiğim zaman “Vay be, elin oğlu neler yapıyor.” dedim. Göstereyim.

Artık bu iki özvektör bu matrisin temeli oluyor ve mesela matrisin kuvvetini alırken çok işe yarıyor. MIT kaynaklarında bu özvektörlerin zamana bağlı değişken denklemlerde kullanıldığını okudum. Bana bu kadarının yeteceğini düşündüm. Eigenvalue ile ilgili kaynaklarda Mona Lisa’nın resminin vektörel olarak kaydırılması örnek verilmiş. Özgün bir içerik olsun diye bende bizim kahramanlardan biriyle örnek vereyi dedim. Aklıma Barbaros Hayrettin Paşa geldi 🙂

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir